Wir untersuchen eine
Kultur, deren Bakterienzahl sich in jeder Stunde verdoppelt.
Unser Ziel ist es,
vorauszusagen, welche Größe eine Kultur nach einer gegebenen Zeit t
hat.
Um das Wachstum
rechnerisch in den Griff zu bekommen, überlegen wir uns, wie diese Zahlen
zustande kommen:
Zeit |
Anzahl der
Bakterien |
Formel für die
Anzahl der Bakterien |
Zu Beginn |
1000 |
1000 * 20 |
Nach 1 Stunde |
2000 |
1000 * 21 |
Nach 2 Stunden |
4000 |
1000 * 22 |
Nach 3 Stunden |
8000 |
1000 * 23 |
Nach 4 Stunden |
16 000 |
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Nach 5 Stunden |
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Nach 6 Stunden |
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Nach t Stunden |
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Ergänzen Sie die
Tabelle und ermitteln Sie die Funktionsgleichung zur Berechnung der Anzahl der
Bakterien nach einer beliebigen Zeit t.
f(t) = ......................................
In einem alten Lehrbuch ist die Rede von einer ganz besonderen Lotusblume. Sie wird in einen Teich gesetzt und wächst darin so rasch, dass sie am folgenden Tag jeweils eine doppelt so große Fläche bedeckt wie am Vortag. Nach 10 Tagen ist der Teich völlig zugewachsen. Der Leser wird nun gefragt, nach wie vielen Tagen der Teich zugewachsen wäre, wenn man gleichzeitig zwei dieser sagenhaften Lotusblumen eingebracht hätte.
Betrachten wir nun
eine derartige Lotusblume, von der wir annehmen wollen, dass sie vor langer
Zeit in den Teich eingesetzt wurde. Zum Zeitpunkt des Beginns unserer
Beobachtung bedeckte sie gerade eine Fläche von 1 m2.
Beschreiben Sie das
Wachstum der Lotusblume mit Hilfe einer geeigneten Funktionsgleichung.
Hilfreich sind Wertetabelle und Skizze.
Da das Wachstum der
Lotuspflanze nicht sprunghaft erfolgt, sondern stetig vor sich geht, kann man
den Definitionsbereich von Z auf Q erweitern. Eine Erweiterung des
Definitionsbereiches von Q auf R führt zu folgender
Definition: Eine Funktion f mit f(x) = ax, x
Aufgaben:
Das bedeutet, dass sie während einer Minute auf 104% ihrer ursprünglichen Größe, d.h. um den Faktor 1.04 anwächst. Nach derselben Logik wie im obigen Bakterienbeispiel ist die Fläche nach t Minuten durch 20 × 1.04t cm2 gegeben. (Machen Sie die Probe, indem Sie t = 1 einsetzen: Nach einer Minute wird eine Fläche von 20 × 1.04 cm2 vorausgesagt, was mit der Angabe übereinstimmt).
Nach x
4-Tages-Perioden beträgt ihre Anzahl 17 × 2x. Da in dieser Zeit t = 4 x Tage vergehen, ist die Zahl der Seerosen
nach t Tagen durch
17 × 2t/4 gegeben. (Machen Sie die Probe, indem Sie t = 4
einsetzen: Nach 4 Tagen wird eine Anzahl von 17 × 2 vorausgesagt, was
mit der Angabe übereinstimmt).
-
Wertebereich
-
Gemeinsame
Punkte
-
Monotonieverhalten
-
Graphen von ax
im Vergleich zu (
-
f(x1+x2) = ……………