Einführung der Eulerschen Zahl e                                                                                     

 

pdf-Datei

Aufgabe:

 

1. Zeichnen Sie mit Derive die Funktionsgraphen zu:

 

f(x)

2x

3x

5x

 

2. Um die Wachstumsgeschwindigkeit (momentane Änderungsrate von Wachstumsfunktionen) berechnen zu können, wird die Ableitung von Exponentialfunktionen ax benötigt.

Lassen Sie von Derive die Ableitungsterme zu den obigen Funktionstermen berechnen und zeichnen. Tragen Sie die Ableitungsterme in die Tabelle ein.

 

f(x)

f’(x)

2x

 

3x

 

5x

 

ax

 

 

Was fällt auf? Wie lautet der Ableitungsterm zu ax?

 

..........................................................................................................................

 

3. Kann es eine Funktion geben, deren Ableitungsfunktion wieder den gleichen Term hat, d.h. f(x) = ax und f’(x) = ax?

 

Hinweise:

- f’(x) = ln(a) * ax                                oder

- Beobachtung: Manche Graphen abgeleiteter Exponentialfunktionen liegen oberhalb beziehungsweise unterhalb der Ausgangsfunktionen.

Nutzen Sie das Java-Applet unter:

http://www.mathe-online.at/galerie/log/n_EulerscheZahl.html mit der Fragestellung:

Welche Lage müsste der Graph einer Exponentialfunktion, deren Ableitung mit der Ausgangsfunktion übereinstimmt, zur Geraden t mit t(x) = x + 1 haben?

 

4. Die Berechnung der Ableitung von f mit f(x) = ax mit Hilfe des Differenzenquotienten können Sie in L-S, S. 207 nachlesen.

 

5. Weitere Möglichkeiten zur Herleitung der Eulerschen Zahl e finden Sie im Textteil zum obigen Java-Applet oder im L-S, S. 207 unten.