Logarithmusfunktion

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Eine Bakteriologin setzt für eine bestimmte Bakterienart Kulturen mit fünf verschiedenartigen Nährböden an. Die Wachstumsbedingungen der Kulturen sind deshalb unterschiedlich.

Nach je einer Stunde ist der Bestand der Kultur I auf das Doppelte, der Kultur II auf das 3-fache, er Kultur III auf das 2,1-fache, der Kultur IV auf das 1,3-fache, der Kultur V auf das 1,5-fache angewachsen.

Der Vermehrungsprozess einer jeden Kultur wird unterbrochen, wenn ihr Bestand das 8-fache des ursprünglichen Bestandes erreicht hat.

Nach wie viel Stunden tritt dies bei den einzelnen Kulturen ein?

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Für die erste Kultur gilt die Funktionsgleichung f(x) = 2^x.

Ein Abbruch ergibt sich nach 3 Stunden. Begründen Sie dies.

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Für die Kultur II gilt f(x) = 3^x.

Ein Abbruch findet zwischen einer und zwei Stunden statt. Begründung?

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Die Auflösung der Gleichung f(x) = 3^x = y nach x liefert das exakte Ergebnis.

Gesucht ist also die Zahl, mit der man 3 potenzieren muss, um y zu erhalten.

Sie heißt Logarithmus von y zur Basis 3 (log₃ y).

Die Funktionsgleichung y = log₃ x ist die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion zu f mit f(x) = 3^x.

Aufgaben:

1. Berechnen Sie log₃ 1 und log₃ .
2. Berechnen Sie 8 = 3^x.
3. Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der Umkehrfunktionen der restlichen Kulturen.

Allgemein gilt:

Zu jeder Exponentialfunktion y = a^x , x R, a R^>0 und a 1 lässt sich die Umkehrfunktion folgendermaßen bestimmen:

1. auflösen der Funktionsgleichung nach x x = log_a y (Logarithmus von y zur Basis a)

2. vertauschen von x und y y = log_a x

Definition:

Die Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktioenen f mit f(x) = a^x, x R, a R^>0 und a 1 nennt man Logarithmusfunktionen.

Man schreibt f(x) = log_a x , x R, a R^>0\{1}

Der Logarithmus mit der Basis 10 wird Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus genannt und lg x geschrieben.

Der Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl: 2,7182....) heißt natürlicher Logarithmus und wird ln x geschrieben.

Aufgaben:

1. Beschreiben Sie die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen, indem Sie folgende Aspekte untersuchten:

- Wertebereich

- Definitionsbereich

- Monotonieverhalten

- log_a x und log_1/a x

- log_a (x₁ * x₂) = ..............……………….

- log_a (x₁ / x₂) = ………………………….

- log_a (1 / x) = ……………………………

- log_a x^k = ………………………………..