Verpackungsoptimierung bei 1-Liter-Tüten

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Milch- oder Safttüten haben oft die Form einer quadratischen Säule. Sie werden aus einer rechteckigen beschichteten Pappe hergestellt. Der Inhalt von 1 Liter ist vorgegeben, allerdings wird die Flüssigkeit nur bis 2 cm unterhalb des oberen Rands eingefüllt.

Für das Verkleben der Seiten werden Ränder von 1 cm bei der Ober- und Unterseite und 0,5 cm an der Randseite benötigt, für die Falten auf der Ober- und Unterseite wird jeweils ein Streifen von 0,5x cm verwendet, damit die quadratische Ober- und Unterseite stabilisiert wird. Sind diese Tüten hinsichtlich des Materialverbrauchs optimiert?

Arbeitsaufträge:

- Fertigen Sie eine Skizze der Verpackungspappe an.

- Stellen Sie unter Verwendung der Variablen x für die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und h für die Höhe der Tüte eine Formel zur Berechnung der Gesamtfläche der Verpackungspappe auf.

- Stellen Sie unter Verwendung der Variablen x und h eine Formel zur Berechnung des Volumens der Tüte auf.

- Eliminieren Sie die Variable h aus der Volumenberechnung (1 Liter = 1000 cm³)

- Setzen Sie den so gewonnenen Wert für h in die Formel für die Gesamtfläche ein.

- Ermitteln Sie den Wert für x, für den die Gesamtfläche minimal wird.

- Überprüfen Sie, ob der Wert für x wirklich die Lösung des Problems liefert.

Lösungen:

- Skizze siehe L-S S. 108

- A = (4x + 0,5)(h + x + 2)

- V = x² (h – 2)

- V = 1000, also: h = + 2

- A = (4x + 0,5)( + 2 + x + 2), also: A = + 4x² + 16,5 x + + 2

- A’(x) = - + 16,5 + 8x - und A’’(x) = + 8 +

A’(x) = 0 liefert x = 7,39 und h = 20,29, A’’(7,39) = 28,79>0 also: TIP an x = 7,39

- Der Vergleich mit einer realen Milch- oder Safttüte zeigt, dass die reale Verpackung recht gut optimiert ist.