Ganzrationale Funktionen  - Nullstellenberechnung                                                                    

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Bekannt:

Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Funktionswert f(x) = 0 wird. Graphisch bedeutet dies den Schnittpunkt mit der x-Achse.

 

Gleichungen der Form f(x) = 0 treten in der Mathematik häufig auf, z.B. Nullstellen einer Funktion, Schnittpunkt von Funktionen (wenn nach dem Gleichsetzen der Funktionsterme die Gleichung so sortiert wird, dass auf der rechten Seite nur noch 0 steht), notwendige Bedingung von Extrem- oder Wendestellen.

 

Bisher können lineare und quadratische Gleichungen gelöst werden. Gleichungen höheren Gerades versucht man, durch geschickte Termumformungen auf Gleichungen zurückzuführen, die man mit bekannten Verfahren lösen kann. Dazu dient das Verfahren des Faktorisierens.

 

 

pq – Formel

 

für die quadratische Gleichung

 

 

Faktorisieren

 

Ziel ist es z.B. durch Ausklammern und / oder Anwendung der Binomischen Formeln Summenterme in Produkte umzuwandeln, denn ein Produkt hat die Lösung 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

 

Beispiel:           f(x) = x3 – x2 – 4x = 0              ausklammern von x liefert

                        x(x2 – x – 4) = 0                      Faktoren einzeln gleich 0 setzen

                        x = 0 x2 – x – 4 = 0            

Lösen der quadratischen Gleichung mit pq-Formel, quadratischer Ergänzung oder dem Satz von Vieta

                        x = 0  x = ½

                        x = 0  x = ½ +  x = ½ -

                        x = 0  x = 2,56         x = - 1,56

 

 

Aufgabe 1

a) 0 = x2 - 4                 b) 0 = x2 + 4                c) 0 = 8 - 2x2                             d) 0 = -18 + ½x2           

e) 0 = x2 x                f) 0 = x(x - 1)              g) 0 = (x - 1)(x + 2)    h) 0 = 3(x - 2)x(x + 2)

 

 

Aufgabe 2

a) 0 = 3x2 + 3x - 18     b) 0 = 2x2 - 4x + 2      c) 0 = ½x2 - ½x - 3     d) 0 = 3(x2 - 3x + 6)

 

neu:

 

Polynomdivision

 

Lässt sich nicht direkt erkennen, ob durch Anwenden der Binomischen Formel oder durch geschicktes Ausklammern eine Gleichung in Faktoren zerlegt werden kann, hilft das Verfahren der Polynomdivision weiter.

Es entspricht dem schriftlichen Dividieren, nur (;-)) dass dies jetzt mit Termen erfolgt. Eine ausführliche Erklärung dieses Verfahrens finden Sie unter:

 

Station 13 Polynomdivision, Download Stationenlernen

http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/downloads/downloaddinslaken1.htm und / oder

http://www.fell-mg.de/mathematik/javascript/polynomdivision/index.htm

 

 

Aufgabe 3

Lösen Sie durch Polynomdivision!

a) 0 = x3 - 9x2 + 26x - 24        b) 0 = 2x3 - 6x + 4      c) 0 = x3 + 2x2 - 5x - 6

d) 0 = x3 x2 + 2x – 2             e) 0 = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x

 

 

 

Substitution

 

Ganzrationale Funktionen, in denen x nur in der 4., 2. und 0. Potenz vorkommt,

z.B. f(x) = x4 + x2 +3 lassen sich durch Substitution der Variablen x2 durch eine andere Variable, z.B. z auf eine quadratische Gleichung zurückführen.

Verfahren:

Ersetzen Sie x2 durch z, lösen Sie die quadratische Gleichung in z, führen Sie anschließend die Rücksubstitution durch, indem Sie z durch x2 ersetzen und nach x auflösen. Sie erhalten 4 Lösungen für die Variable x.

 

Siehe:

http://www.fell-mg.de/mathematik/javascript/BiquadratischeGleichungen/index.htm

 

 

Aufgabe 4

Lösen Sie durch Substitution: x2 = z

a) 0 = x4 - 5x2 + 4        b) 0 = x4 - 8x2 – 9        c) 0 = ¼x4 - 2x2 + 4     d) 0 = 2x4 + 6x2 – 8

 

 

 

Überlegungen

 

Wie viele Nullstellen kann eine ganzrationale Funktion n-ten Grades maximal haben?

 

Für welche a hat die quadratische Funktion f(x) = x2 – x – a keine, eine (= doppelte) oder zwei Nullstellen?

 

 

für Studierende des LKs

 

Newtonsches Iterationsverfahren

 

In der Lerneinheit LK Zusatz 3 wird ein Verfahren vorgestellt, das iterativ mit Hilfe von Funktionswerten von f und f’ die Nullstellen berechnet.

In der Übersicht über Mathematikmaterialien von SelMa finden Sie unter Angebote anderer Autoren eine Visualisierung des Newton-Verfahrens  http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/uebersichten/uebersicht_mathematik.htm