Vergrößerung eines Kreisumfangs um 1 m

Denken Sie sich längs des Äquators ein Seil um die Erde gespannt. Seine Länge betrage genau 40 000 000 m.
Denken Sie sich nun das Seil um 1m verlängert.
Prüfen Sie, ob dann genügend Platz entsteht, dass eine Maus zwischen Seil und Erdboden durchschlüpfen könnte.

Eine funktionale Interpretation des Problems finden Sie in dem folgenden interaktiven GeoGebra-Applet.

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1. Überlegen Sie, wo die Angaben der Problemstellung in dieser Abbildung wiederzufinden sind, indem Sie folgende Fragen für sich klären:
- Was ist auf der x-, was auf der y-Achse abgetragen? Betrachten Sie die Stelle x = 1. Der zugehörige Funktionswert des Punktes B auf der blauen Geraden hat den exakten Wert 2pi, also ca. 6,3 LE.
- Wie lässt sich die blaue Gerade interpretieren? Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.
- Vergleichen Sie die gestrichelte Gerade mit der blauen Geraden. Wie entsteht die Funktionsgleichung der gestrichelten Geraden aus der der blauen Geraden? Was ändert sich? Worin stimmen sie überein?
- Wie lang ist die Strecke BC?
- Wie lässt sich dieser Zusammenhang vor dem Hintergrund des obigen Problems deuten?
- Wie weit muss man auf der x-Achse nach rechts gehen, um den gleichen Funktionswert von C auf der blauen Geraden zu erhalten? Wie kann man dies anahnd der beiden Geraden ermitteln?
- Wenn man von C waagerecht nach rechts geht, bis man die blaue Gerade schneidet, erreicht man den Punkt D. Dieser hat die gleichen Funktionswerte wie C, nämlich die um 1 größeren Funktionswerte als der Punkt B. Wie weit liegt der Punkt D vom Punkt C entfernt? Verschieben Sie den Punkt X auf die Stelle x = 0 und lesen Sie die Länge der Strecke zwischen X und XE ab.
- Welcher proportionaler Zusammenhang wird hier ausgenutzt?

2. Ziehen Sie am Punkt X und verändern Sie so den Radius. Beobachten Sie die Änderungen der zugehörigen Funktonswerte der blauen und der gestrichelten Geraden anhand der eingeblendeten Funktionsterme.Was ändert sich?

3. Überlegen Sie, wie sich der Radius bei großen Kreisen, z.B. Fußball, Gymnastikball, Erdball ändert, wenn der Umfang jeweils um 1 LE vergrößert wird. Finden Sie eine Antwort für das obige Problem.

4. Sie haben gesehen, dass die Verlängerung des Umfangs um 1 m immer zu einer Vergrößerung des Radius um dieselbe Strecke (XE - X) führt. Dies gilt auch für sehr große Radien, z.B. den Erdradius. Finden Sie eine algebraische Begründung für dieses Problem, indem Sie die Kreisumfangsformel: U = 2*pi*r benutzen und die Vergrößerung des Radius berechnen, wenn der Umfang um 1 LE vergrößert wird.

5. Welche Strecke entspricht der algebraischen Lösung von ca. 0,159 LE in dieser Abbildung?

6. Reflektieren Sie noch einmal die verschiedenen Lösungswege!


Erweiterung
1. Verändern Sie den Schieberegler für m. Setzen Sie ihn auf 1. Was beobachten Sie? Was bedeutet dies?

2. Verschieben Sie nach der Änderung der Einstellung von m den Punkt X. Was beobachten Sie? Was bedeutet dies?

3. Stellen Sie wichtige Merkmale linearer Funktionen zusammen.

W. Swora und G. Delfs-Swora, Erstellt mit GeoGebra