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Was ist eine Verschiebung? |
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Gegeben ist die allgemeine
Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel
y=x²+px+q |
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Bei dieser Parabel wurde die Normalparabel
um xs Einheiten entlang der x-Achse und ys Einheiten entlang der y-Achse
verschoben |
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Ihr Scheitelpunkt ist S(xs/ys). |
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Gegeben ist der Scheitelpunkt S Die
o. g. Gleichung wird dann umgeformt in die Scheitelpunktform |
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f(x)=(x-xs)²+ys |
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Jede Funktionsgleichung einer Parabel kann
mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform
umgeformt werden, |
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so dass man ihren Scheitelpunkt und ihre Eigenschaften
ablesen kann. |
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Es ist besonders darauf zu
achten, dass bei der Entnahme der Koordinaten des |
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Scheitelpunktes aus der
Scheitelpunktform-Gleichung, das Vorzeichen der x-Koordinate verändert werden muss und |
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das Vorzeichen der y-Koordinate aber
erhalten bleibt. |
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Der Scheitelpunkt einer verschobenen Parabel
ist gegeben,
und
gesucht wird die dazugehörige Funktionsgleichung
y
= x² + px + q
Bei dem gegebenen Scheitelpunkt handelt es
sich um die Werte:
(xs; ys)
Wir setzen also die Scheitelpunktskoordinaten
in die Scheitelpunktsform, die
f(x)= (x-xs)²+ys
lautet, ein. Dies ausgerechnet ergibt die
gesuchte Funktionsgleichung.
Beispiel: S(3;-2)
Hierzu benötigt man die Scheitelpunktsformel: f(x)=(x-xs)^2+ys
In diesem Beispiel also: f(x)=(x-3)^2+ (-2)
Wenn man diese Funktion ausrechnet, kommt man auf die allgemeine Funktionsgleichung.
f(x) = (x-3) (x-3)+(-2)
=x^2-6x+9-2
=x^2-6x+7
Suche den Scheitelpunkt, wenn die Funktionsgleichung
bekannt ist:
Hier muss man aus der allgemeinen Funktionsgleichung mit
Hilfe der quadratischen Ergänzung zur Scheitelpunktsformel kommen.
Beispiel:
Wir haben die Funktion y=x^2+x-2.
In dieser Aufgabe wird der Scheitelpunkt und ihre Schnittpunkte gesucht.
Zur Berechnung des Scheitelpunktes werden folgende Schritte vorgenommen:
- quadratische Ergänzung => y=(x+1/2)^2-(1/2)^2-2
- ausgerechnet ergibt es=> y=(x+1/2)^2-1/4-2
-
S(-1/2; -2,25)
oder
·
Formel
(x-xs)^2 +ys
diese
Formel setzte ich ein, wenn ich die Scheitelpunkte bereits kenne.
S (-b/2a ; c –b^2/4a)
· Einsetzen in die Formel
y= (x +1/2)^2 – (1/2)^2-2
·
Ergebnis: S ( -1/2 ; -2,25)
Gib den Scheitel der Parabel und ihre Schnittpunkte mit
den Koordinatenachsen an.
Gegeben ist z.B.: y=x^2+x-2
Man kommt hier über die vorgegebene allgemeine
Funktionsgleichung über die quadratische Ergänzung zur Scheitelpunktsformel und
kann dann den Scheitelpunkt berechnen.
Die Schnittpunkte mit der x-Achse erhält man, indem man
die Nullstellen berechnet.
Das heißt man setzt die vorgegebene Funktionsgleichung
gleich null.
- Funktionsgleichung wird Null gesetzt, da die y-Koordinate der Nullstelle den Wert 0 hat
Beispiel: x^2+x-2=0
- In die p,q Formel setze ich meine Zahlen ein und rechne diese aus
x = - ½ +/- Wurzel((1/2)^2 + 2)
x = - ½ +/- Wurzel (9/4)
x = - ½ + 3/2 oder x = -1/2 – 3/2
x = 1 oder x = -2
Den Wert der y-Achse erhält man, indem man für x den Wert 0 einsetzt, da der Schnittpunkt mit der y-Achse die x-Koordinate 0 hat:
- f(0)=0^2+0-2
-
Ergebnis=> P(0;-2)
Von einer verschobenen Normalparabel sind zwei Punkte P1
und P2 bekannt. Stelle die Funktionsgleichung auf.
Hier muss man die Koordinaten von P1 in die allgemeine
Funktionsgleichung
f(x) = x^2 + bx + c
einsetzen. Dasselbe macht man mit den Koordinaten von P2.
Diese Funktionsgleichungen löst man nach den Variablen
auf, z.B. Additionsverfahren oder Gaußscher Algorithmus..
Zwei Parabeln sind durch ihre Funktionsgleichungen
gegeben. Berechne die Schnittpunkte.
In einem ersten Schritt werden beide quadratischen Gleichungen gegeneinander gleich gestellt,
Beispiel:
x^2 –3x+4 = x^2+2x-7.
Daraufhin wird diese neu entstandene Gleichung entsprechend der Regeln für die Termumformung bearbeitet
( auf beiden Seiten –x^2 / -2x / +7 )
Das daraus entstandene Ergebnis ( 2,2 ) wird in eine der beiden quadratischen Gleichungen eingesetzt.
y= 2,2^2+2*2,2-7
y ergibt nach der Berechnung 2,24.
Somit ist der Schnittpunkt (2,2/2,24) festgelegt.